论文推荐|黄昆学：月球重力场模型GL0660B特征分析及其对绕月卫星轨道的影响

    月球重力场可用来研究月球演化过程和内部结构，是影响绕月卫星精密定轨的重要因素。基于GRAIL任务数据解算的GL0660B重力场模型，极大提高了月球重力场空间频谱信号的强度和范围。本文首先通过计算相应重力场的阶方差和地形相关性分析，对GL0660B模型进行了精度分析；其次，利用GL0660B模型和其他几个月球重力场模型进行比较，对月球重力场的特征进行了分析；然后通过绘制GL0660B模型和LP150Q模型在月球外部不同高度处的重力异常图，分析比较了月球重力场模型在不同高度上所反映的月球重力场的特征和差异；最后，利用GEODYN软件模拟计算了不同高度卫星的轨道变化。可以看出绕月卫星离心率随时间的变化，以及周期性变化趋势，而且不同高度卫星轨道处质量瘤的摄动影响不同，远月点、近月点和偏心率的变化也存在差异。

月球重力场是研究月球的基本物理量，可用来研究月球构造、演化过程和确定绕月卫星精密轨道。绕月卫星受到的摄动力众多，主要包括太阳光压、月球非球形摄动、三体引力等。月球重力场是绕月卫星的主要摄动力场，高精度的月球重力场模型是确定绕月卫星精密轨道的关键。

1998年美国发射的Lunar Propector(LP)绕月卫星，初期轨道高度是100 km，扩展任务阶段轨道平均高度降到30 km。LP获得的多普勒数据的精度为0.2 mm/s，采样间隔为10 s。联合之前的测月跟踪数据和LP任务获得的所有观测数据，解算得到了月球重力场模型LP165P^[-]。

2007年日本的SELENE探月计划发射了3颗绕月卫星，其中高轨的一颗中继卫星可为主星转发多普勒信号，实现了第1次直接观测月球背面重力场^[-]。使用SELENE多普勒观测数据、差分VLBI数据和之前已有的测月数据，解算了SGM系列月球重力场模型。其中精度较高的SGM100i与初期解算的SGM100h相比，定轨误差已经降至几十米^[]。

2011年美国发射的GRAIL卫星计划，包括两颗相同的月球探测器GRAIL-A和GRAIL-B，运行在50 km高度的近圆形月球极轨道上，通过Ka频段在两个月球探测器之间进行高精度距离变化率测量，利用这些测量数据来解算月球重力场。由GRAIL观测数据解算的超高阶GRAIL月球重力场模型有：GL0420A、GRGM660-PRIM、GL0660B、GL0990C和GL0990D。GRAIL系列月球重力场模型较之前的月球重力场模型，模型分辨率得到极大提高，在2~10阶次模型改正精度达2个量级，而高阶次可以达到4个量级以上。与SGM100i比较，最明显的不同在两极和背面的较小环形区域，在这些区域，GL0660B的重力信息表达更精细，与地形的相关性也更高。

在GRAIL任务之前，人们对月球重力场的探索大部分局限于月球的正面，通过Lunar Propector任务，月球背面不能被直接观测到。直到SELENE任务，月球背面的重力场第1次被直接观测到，但月球背面有效阶次只在前70阶。通过GRAIL任务采集到的双星间距离变率精度达到0.03 μm，重力场空间频谱信号的强度提高了4个数量级，其解算的GL0660B重力场模型在330阶之前与地形相关性达到95%，空间分辨率大大提高的同时低阶位系数也得到改善。本文主要在利用GL0660B新模型进行分析比较，从而得到前所未发现的认识和结论。首先分析GL0660B模型可靠性，进而使用其分析月球不同高度上的重力场特性；并且比较不同模型空间频谱特性，利用GEODYN定轨软件^[]计算了不同高度卫星所表现出的轨道变化规律，最后分析GL0660B月球重力场模型对绕月卫星轨道的影响。

月球重力场球谐函数展开模型位系数的阶方差可以反映重力场空间频谱信号的强度^[]。计算公式如下

 (1)

式中，C_nm、S_nm是正则化位系数，n和m分别是阶和次。在阶方差分析中常用Kaula准则，它近似描述了重力场模型位系数统计规律，与阶数n的平方成反比

 (2)

式中，β为经验常数。Kaula约束的作用，一是在缺乏月球背面数据情况下解算时，克服求解不稳定性，二是解算时平滑高阶系数。解算不同月球重力场模型时取的值一般不相同。在解算SGM100i时使用的β为3.6；在用GRAIL数据前期解算GRGM540a和GRGM660PRIM时，仅在大于330阶时用到宽松的Kaula约束，β为25；在解算GL0660B时没有用Kaula约束，β的值越小，表示约束越严格^[]。

中分别绘制了SGM100i、GL0660B和GL0900D等3个模型的位系数阶方差和误差阶方差曲，Kaula曲线为2.5×10^-4/n²。SGM100i在30阶之后开始偏离Kaula曲线。GL0660B和GL0900D在30阶至180阶也偏离Kaula曲线，但之后与Kaula曲线吻合得较好。SGM100i、GL0660B和GL0900D在100阶之前阶方差差别不大，但GL0660B和GL0900D与之前的模型相比，不仅在阶次上大大提升，其误差阶方差也有3个量级的明显改善。GL0660B和GL0900D相比，阶方差基本一致，但误差阶方差曲线略有不同，前者位系数(30～660阶)误差略大。从图中可以看出加入月球背面高精度直接观测数据对重力场的解算起了重要作用，GRAIL系列模型分辨率得到极大提高。

图 1 不同月球重力场模型阶方差和误差阶方差的比较Fig. 1 Comparison of degree sigma error and degree variance of lunar gravity models

月球上除了质量瘤等独特构造区域，月球重力场的高阶重力信号与地形应该有很高的相关性^[]。高阶重力场位系数与地形相关程度是月球重力场模型质量的一种评价标准。描述了SGM100i、GL0660B和GL0900D模型位系数与LOLA地形模型位系数的相关性。

图 2 重力场模型位系数与月球地形模型LOLA地形模型位系数相关性Fig. 2 Comparison of lunar gravity model coefficients and LOLA topography model

在50～70阶SGM100i相关系数高达0.9左右，从80阶往后相关性急剧降低，到后面几乎没有相关性。GL0660B和GL0900D位系数与地形相关系数在60阶之前与SGM100i几乎一致，之后80～330曲线变化比较平稳，稳定在0.95以上，GL0660B在330阶之后有较明显的下降趋势，GL0900D在660阶之后开始下降。在2～20阶几个模型的地形相关系数曲线几乎一致，数值变化巨大，几乎不相关或负相关，这是由于月球表面存在质量瘤所导致的过度补偿所致^[]。

本文主要应用GL0660B模型在不同高度处重力异常分布进行分析，并与LP150Q重力异常的分布情况进行比较。、、、分别给出了月球上空0 km、50 km、100 km和200 km处由GL0660B模型得到的重力异常分布图。、、、分别给出了月球上空0 km、50 km、100 km和200 km处由LP150Q模型得到的重力异常分布图。采用月固坐标系，坐标系原点O为月心，参考平面为月球赤道面，OX轴通过月面上的中央湾指向地球平均位置，OZ轴沿月球平均自转轴方向，坐标系为右手坐标系。中横坐标为经度，纵坐标为纬度，90°W-90°E为月球正面，其余区域为月球背面。

图 3 GL0660B和LP150Q模型在不同高度的重力异常Fig. 3 Gravity anomaly of GL0660B and LP150Q at different heights

显示了GL0660B与LP150Q在0 km、50 km、100 km和200 km高度处重力异常差的分布。GL0660B与LP150Q之间在月球正面差异较小，在月球背面的差异比较明显。可以看出，两个模型在50 km高度处的差值大部分在50 mGal以内，而在200 km高度处的差值在10 mGal以内。GL0660B模型不同高度处的高精度的月球背面重力异常可以为嫦娥四号月球背面落月探测提供参考依据。

图 4 GL0660B与LP150Q在不同高度处重力异常差分布Fig. 4 Differences of Gravity anomaly between GL0660B and LP150Q at different height

相对于现有的月球重力场模型，GL0660B是较为可靠的模型，能够很好地反映月球外部重力场的中、长波特性，在330阶之前与月球地形相关性很高。通过重力异常图可看出从月面至高度50 km到200 km，重力异常衰减迅速。月球质量瘤对50 km低轨卫星影响巨大，随着轨道高度增加，对应质量瘤中心的重力异常值衰减都在100 mGal以上。不同的月球重力场模型都能够反映出月球外部重力场的大部分主要特征，GL0660B反映的更为精细，但到200 km以上的外部空间，GL0660B模型与LP150Q模型所得到的重力异常平均值之差为0.04 mGal。对不同高度处的轨道变化特征的分析表明绕月卫星离心率随时间的逐渐变化，会有复杂的短周期变化和长周期项变化趋势，而且不同轨道高度处受质量瘤的摄动影响不同，远月点、近月点和偏心率的变化也存在差异。这些可以为我国探月计划“嫦娥工程”后面的发射计划提供一定的参考依据。

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黄昆学^1,2, 常晓涛², 朱广彬², 李武东^2,3     

1. 武汉大学测绘学院, 湖北 武汉 430079 ;
2. 国家测绘地理信息局卫星测绘应用中心, 北京 100048 ;
3. 山东科技大学测绘科学与工程学院, 山东 青岛 266590

收稿日期：2015-11-27； 修回日期：2016-04-18

基金项目：国家自然科学基金(41204007); 国家863计划(2013AA122502); 国家973计划(2013CB733302); 中国地质调查局地质调查工作项目(12120113019100)

第一作者简介：黄坤学(1985-),男,博士生,研究方向为卫星大地测量。

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